Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

数学星期一:Polyedral Fruit,第二部分 - 中级形状

今天我们将采用上次详细描述的一些技术,从这种萝卜开始,在更多的蔬菜和水果中找到多面体。就像柿子一样,它相当蹲下,但这次我们也想要一个稍微有趣的挑战。因此,自然候选者是正五边形反棱镜,另一个顶点传递固体。

就像上次六角形棱镜一样,它在平行平面上有两个最大的面,所以我们以相同的方式开始,有两个重要的区别。首先,我们需要在网上查看正五边形反棱镜的高度和边长的关系;事实证明,边长是√10/√(5 +√5),或高约1.18倍。因此,一旦我进行了第一次平面切割,我可以确定我在萝卜中留下了大约3.5厘米的可用高度,这意味着五边形基部的边长为4.13厘米。打印出几个带有边长的正五边形,我发现它们很好地适合水平横截面。

第二个区别是,一旦你制作了两个平行的平面切口,你需要将两边的五边形排列成相对于彼此旋转十分之一。换句话说,不是让它们与棱镜完全对齐,而是一个五边形的每个角应该指向另一边的五边形边缘的中间。最简单的方法是标记每个五边形的中心,这些中心仍然会将一个中心垂直排列在另一个上方,然后将一个引脚垂直地穿过水果,然后将两个中心对齐在引脚上。然后旋转它们使它们恰好在对齐之间的中间位置。

现在你可以追踪萝卜板两侧的五边形。但请注意,反棱镜的等边三角赤道面的平面切口不会完全垂直 - 从顶部看,它们交替倾斜略微向外倾斜。所以你的第一次切割指南需要尊重;沿着顶部五边形的一个边缘观察,并尽力在萝卜的一侧画一条线,从那个角度看,它将直接穿过固体底面的一个角的前面。现在沿着您绘制的引导线制作一个平坦的切片。如果你做了一个平面切割,通过顶部五边形的选定边缘和底部五边形的一个顶点,你就会知道一切都很好;只有一架飞机这样做,它是五角形反棱镜的一个赤道面所在的平面。

之后,程序与以前相同:在刚刚切割的平面上原位绘制所选三角形面的一条边,并使用该边和相邻的五边形边(在反棱镜底部的位置)第一次切割)切割相邻三角形面的平面。

以同样的方式继续围绕反棱镜的赤道;在下面你可以看到它在最终切割之前的样子,以及它何时完成。

下一个要雕刻的是这个梨。由于它缩小到顶部的一个点,它建议雕刻一个正五边形金字塔,一个约翰逊固体。我周围有一些五边形,它们适合于底部的横截面,所以我只是将它们重新用于这个多面体。

和以前一样,你需要找到正五边形棱柱的高度;结果是金字塔边缘长度的√(5-√5)/√10,或约0.526。鉴于我的五边形模板的边长约为4.1厘米,我需要将我的梨板切成约2.2厘米高。

由于这次我们正在制作金字塔,你可以将五边形放在一边,并立即沿着每条边垂直切割 - 切口不必是完全垂直的,因为我们将从另一边移除大量材料无论如何。这样可以很容易地在另一侧排列另一个五边形模板,以找到相对侧的中心,这将是金字塔的顶点。

现在我们准备切割金字塔的三角形面。沿着基部的一个边缘瞄准您的第一条准线,从顶点前方一直延伸到离您最近的边缘。完成切割后,您可以在该平面中绘制三角形面的一个边缘,从顶点到底座的一个角,并将其用作下一个切割的准则。按照你的方式工作,从顶点向下五个切口,你的五角金字塔是完整的。

使用相同大小的五边形作为萝卜和对的一个很好的好处是,然后两个多面体堆栈制作大多数正常的二十面体(我们需要一个更多的五角形金字塔底部完成整个二十面体)。

本周的最后成果是亚洲梨。由于它在中间是脂肪并且向两端逐渐变细,并且已经具有大致五边形的外观,因此它没有比五边形双锥体更准确。

这张雕刻,如下图所示,基本上只是第一颗梨的两倍。你必须将厚度减少两倍(注意我将该对中最胖的部分标记为其高度的中心,并在切割第一个切片之前测量其右侧的一半高度,然后像往常一样测量整个高度)并切割完成板坯)。

然后你在两边对齐五边形(这次我不得不使用一根叉子,而不是一根针,因为平板对于针来说太高了)并切出一个高五边形的棱镜。标记顶部和底部五边形的中心以及每个垂直边缘的中点,这些是最终双锥体的赤道顶点。现在你在最后一个雕刻的每个顶点都有一个标记,它在空间的实际位置。完成仅涉及绘制指南,该指南遵循连接三个最近邻点顶点的平面并沿着这些平面切片。

它分为“顶部”和“底部”金字塔的两组五个切口,每个切口相当于我们对梨金字塔的作用。

下次:伪阿基米德,加泰罗尼亚和冷冻固体!

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