Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

数学星期一:洞新多面体

如果你构建了许多多面体模型,并计算它们的顶点,边和面,你会发现一个有趣的关系,特别是如果你看一下这些数量的总和和差异。

多面体 顶点 边缘 面孔
四面体 4 6 4
三角双锥 5 9 6
三棱镜 6 9 5
立方体 8 12 6
八面体 6 12 8
双新月双罩帐 14 26 14

你能看到上面的数字模式吗?如果您没有找到它,请不要担心 - 您与Euclid和Descartes(我们称之为“笛卡尔坐标”的发明者)等数学巨星有着共同之处。另一方面,如果您注意到对于这些多面体中的每一个,顶点数减去边数加上面数总是等于2(通常写为V-E + F = 2的公式) ,那么恭喜!你已经和Leonhard Euler相提并论,他是有史以来最多产的数学家之一。

事实上,你制作的多面体越多,你就越开始认为这个等式适用于每个可能的多面体 - 也就是说,直到你得到类似这样的东西,我喜欢称之为“Octahex戒指”。

这需要一些计算,但如果你小心你可以知道这个多面体有36个顶点(每个顶点是六个绿色单位之一的一部分,每个顶点是一个八面体有六个顶点)和108个边缘(六个六个绿色单位中的十二个,以及另外六个不属于六个黄色单元中的每个绿色单元的一部分)和72个面(六个单元中的每一个中的六个,黄色和绿色)。做算术,36 - 108 + 72 = 0,而不是2.发生了什么事?

事实证明,欧拉的公式V-E + F比初看起来更强大。 octahex戒指显然有点不寻常:它的形状有点像甜甜圈;它的中间有一个“洞”。而这正是这个简单公式可以检测到的,甚至可以计算:对于任何多面体,V-E + F都会告诉您孔的数量。如果这个量达到2,就没有洞;如果它出现0,则有一个洞; -2表示两个孔; -4表示三个孔;依此类推,每增加一个孔减2。基于形状的基本部分的这样一个基本公式如何能够告诉你有没有洞的复杂的整体属性是一个美丽的故事,遗憾的是这里很长时间无法讲述,汇集了来自许多不同数学分支的想法。

这与制作有什么关系?感谢最近几篇文章中提到的ParaGons系统,许多教室的学生都有机会,并且在建立八度环并且亲身体验其有趣和不寻常的结构方面取得了巨大的成功。数学星期一要感谢所有相关的老师,学校和学生,其中许多人如下图所示。

以下是Jessica Quinn在帕萨迪纳梅菲尔德高中的学生们开始组装octahex戒指的绿色角落单位。

以下是Mayra Oliden在Olga Mohan高中的学生开始将一些单位联系起来。

这是Cinthia Vega在Alhambra高中的11年级学生即将完成他们的戒指。

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