Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

数学星期一:超越基础

数学发现的一条途径在于改变被充分理解的东西的特征或参数,以查看它们变化时会发生什么。例如,我们在二进制计数器中加入了陷阱,这些陷阱允许调整它们在触发之前存储的弹珠数量。调整疏水阀容量导致了一种新的数学结构 - 三元数系统。

在实际构建改造过的机器时,我们引入了一个新组件,即擒纵机构。所以现在我们可以问:为什么要限制自己只携带一个球?事实上,詹姆斯坦顿和他组织的全球数学项目本月正在向世界各地的人们询问:如果我们的每个地方价值溢出时我们带两个球,会发生什么? (请注意,Jim Propp,我们会在下面听到更多信息,在20世纪90年代向Tanton提出了这个问题。)对我们的三元计数器/加法器的一个非常简单的修改将在物理上阐明这个问题。

也就是说,我们需要做的就是修改每个擒纵机构,使其保持两个球,而不是一个。这样,当它的相关陷阱触发时,它将释放两个球到下一个陷阱。并且对擒纵机构所需的更改几乎是微不足道的:只需移动止动器,以便在擒纵机构的臂中有正好两个球的空间,正如您在此镜头中看到的那样(请注意,该标签已被临时移除以允许访问到了停止)。

除了重新加重擒纵机构以使它们在拿着两个球时接近平衡,这就是必须要做的一切。所以这里是一张完全修改过的计数机器的照片,所有的大理石储存库都备有库存。

它看起来几乎与三元计数器完全相同(你可以看出擒纵机构内部有两个大理石的事实),但它的表现会有所不同。让我们看看它的实际效果。

到底发生了什么?显然,从某种意义上说,机器正在计数。根据每个陷阱中有多少个弹珠,每个球都会进入一个不同的状态。并且没有一个状态重复(至少在机器溢出24号大理石之前没有重复),因此我们为每个非负整数获得不同的表示。如果您重播视频并跟踪,则可以生成下表中的表示:

0 0 12 2120
1 1 13 2121
2 2 14 2122
3 20 15 21010
4 21 16 21011
5 22 17 21012
6 210 18 21200
7 211 19 21201
8 212 20 21202
9 2100 21 21220
10 2101 22 21221
11 2102 23 21222

我们怎样才能理解这个新的数字系统?那么,在我们的三元计数器的第二个陷阱中制造一个球的原因是什么呢?事实是,对于进入第一个陷阱的每三个球,一个球被添加到第二个陷阱。从现在开始,当第二个陷阱中有两个球被添加到第二个陷阱时,似乎第二个陷阱中的球的价值可能仅为三元计数器中的一半。换句话说,第二个陷阱中的球是否代表3/2或一个半?

实际上,如果你看一下上面的表示,你会看到例如对应于4的状态是“21”。如果我们将其解释为2×(3/2)+ 1,则它正确地出现在4!

那么第三个陷阱中的大理石应该代表什么?那么,每个价值3/2的三个大理石,或者总共9/2个,将在第三个陷阱中释放两个弹珠,所以它们应该分别是9/2或9/4的一半。再次,这与上面的表示一致:7等于2×(9/4)+ 1×(3/2)+ 1。

并且注意,并非巧合的是,9/4是3/2的平方。你可以用相同的方式验证第四个陷阱中的弹珠是否值得3/2或27/8的立方体。第五个陷阱中的弹珠(本机最底部的一个)值得3/4或81/16的四次方。再次,例如,23 = 2×(81/16)+(27/8)+ 2×(9/4)+ 2×(3/2)+ 2。

换句话说,这台机器的计数基数为3/2。很奇怪 - 甚至可能看起来不可能有分数基数。毕竟,并非基数3/2中的每个可能的数字代表整数。例如,这个系统中的“11”意味着两个半,所以我们永远不会用它来计算它。但是这台机器的存在本质上证明了每个整数都有一个数字(你可以设想添加更多层的擒纵机构和陷阱来处理更高的数字。)

幸运的是,有一个拉丁根sesqui-正好意味着“一个半”;例如,查找“sesquicentennial”这个词。因此,扩展我们在二元和三元计数/添加机器上的工作,我们发现了一个数量系统。

在这样做的过程中,我们偶然发现了一些非常有趣和深刻的数学的边缘。请注意,例如,从三位数字开始,每个sesquinary数字从数字2开始。并且每个数字从六开始以数字21开始。前三个数字是否以这种方式稳定,或不?您在计算最右边的位置时会注意到什么?在第二到最右边?其他地方?请注意,每个数字的最后三位数字是不同的;换句话说,即使实际数字超过三位数,您也可以识别小于或等于21222的等于或大于等于最后三位数的正整数。这持续多久了?最后四位是否有类似的现象?

还有更多的模式需要注意,有关这个数字系统的问题;詹姆斯·坦顿在他的“爆炸点”课程的第9部分中提出了许多建议,或者发现你自己的东西。 (如果您阅读了该课程,您可以解释我们过去四周一直在做的事情,因为建立了Tanton用作思想实验的爆炸点机器的物理实现。)但是因为这是一个关于制作实际数学机器的专栏,我会在seququinary计数器上稍微关闭一下。

您可能想知道陷阱在此机器中触发的顺序或添加大理石的顺序是否重要,以便正确计数。事实证明,除非发生任何故障,否则不会;你可以推断出为什么如果你思考一下,或者查看Jim Propp的数学附魔,了解更多关于这个主题的内容。无论如何,为了证明这一点,让我们将13个弹珠同时释放到最顶层的陷阱中,看看会发生什么:

Voilà,它进入了2121州 - 13的等式代表 - 就像我们一次添加一个弹珠一样。请注意,为了完成这项工作,我还必须在第一个陷阱中添加一个标签,以防止在陷阱转储三个大理石时额外的大理石潜入。实际上,由于机器每次携带时都会将两个弹珠转移到下一个陷阱,并且该陷阱可能已经有两个弹珠,如果所有陷阱都有一个标签,整个机器将更可靠地工作,使它们成为精华三大理石擒纵系统。

无论如何,这就是数学大理石机器系列的全部内容。如果您构建自己的大理石机器,或发现新的数字,请在[电子邮件保护]让我知道它作为一个分手镜头,这是我为吉姆的演讲建立的更大规模的加法机器的图片Propp在最后一次MOVES会议上给出了,并且Propp称之为SESQUIAC:

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